Простые и сложные проценты: формулы, частота начисления и во что обходится заемщикам и что приносит вкладчикам

Ваш баланс по кредитной карте удваивается примерно за три года под 24 процента, даже если вы больше не тратите ни доллара, — а вашему сберегательному счету под 4 процента нужно восемнадцать лет, чтобы удвоиться. Та же математика, но в противоположных направлениях. Разница между простыми и сложными процентами определяет, как быстро растут ваши долги, как быстро растут ваши сбережения и является ли предложение по кредиту у вас перед глазами честной ценой или ловушкой. И все же большинство заемщиков никогда не проверяют, какой именно вид процентов они подписывают, а большинство вкладчиков никогда не проверяют, как часто начисляет проценты их банк.

Вот как работает каждый из них, формулы с разобранными примерами, почему частота начисления незаметно меняет вашу доходность и десятиминутный аудит, который заставляет математику работать на вас, а не против вас.

Простые проценты: проценты только на основную сумму​

Простые проценты рассчитываются на первоначальную основную сумму и ни на что больше. Начисление за каждый период одинаково, потому что база никогда не растет. Формула:

I = P × r × t

• I — общая сумма процентов
• P — основная сумма (начальная сумма)
• r — годовая ставка в виде десятичной дроби (5 процентов превращаются в 0,05)
• t — время в годах

Возьмите в долг $10 000 под 5 процентов простых процентов на три года, и вся математика укладывается в одну строку: $10 000 × 0,05 × 3 = $1 500. Вы вернете в общей сложности $11 500, и начисление процентов за каждый год составит ровно $500.

С простыми процентами вы встречаетесь в автокредитах, многих потребительских кредитах и краткосрочных займах. Большинство амортизируемых ипотек также рассчитывают проценты за каждый месяц на непогашенный остаток за этот период — плановый платеж покрывает проценты за этот период плюс часть основной суммы, и проценты не начисляются сами на себя так, как долг по карте, если только вы не просрочите платежи и неоплаченные проценты не капитализируются. Как заемщику вам нужен именно простой процент: баланс растет по прямой линии, а не по кривой.

Сложные проценты: проценты на проценты​

Сложные проценты рассчитываются на основную сумму плюс все ранее накопленные проценты. Проценты за каждый период присоединяются к балансу и начинают зарабатывать (или начислять) собственные проценты. Формула итоговой суммы:

A = P(1 + r/n)^(nt)

• A — итоговая сумма (основная сумма плюс все проценты)
• P — начальная основная сумма
• r — годовая ставка в виде десятичной дроби
• n — число периодов начисления в год
• t — число лет

Возьмите те же $10 000 под 5 процентов с ежегодным начислением и посмотрите, как годовые проценты ползут вверх:

Всего процентов: $1 576,25 — на $76,25 больше, чем у версии того же кредита с простыми процентами. За три года это выглядит незначительно. За десять или двадцать лет и при более высоких ставках разрыв перестает выглядеть незначительным вовсе. Первый год всегда в точности совпадает с простыми процентами, потому что еще нет накопленных процентов, на которые можно начислять; расхождение начинается со второго года и с тех пор ускоряется.

Та самая n, которую никто не читает: почему частота начисления важна​

Самый тихий множитель в формуле — это n, число раз в год, когда проценты добавляются к балансу. Банки начисляют проценты ежедневно, ежемесячно, ежеквартально, раз в полгода или ежегодно — и при одной и той же номинальной ставке более частое начисление означает большую итоговую сумму, потому что каждой свежей добавленной части процентов дается больше времени, чтобы заработать свои собственные проценты.

Возьмем $10 000, приносящие номинальные 10 процентов за десять лет:

Ежемесячное начисление приносит более чем на $1 100 больше, чем ежегодное, при той же ставке, той же основной сумме и том же десятилетии. Ежедневное добавляет еще $109 сверху к ежемесячному. Обратите внимание на убывающую отдачу: переход с ежегодного на полугодовое начисление стоит почти $600, а переход с ежемесячного на ежедневное — около $109. Частота имеет наибольшее значение, когда вы переходите от нескольких периодов ко многим, а не от многих к чуть большему числу.

Урок работает в обе стороны. Сберегательный счет с ежедневным начислением обгоняет тот, что начисляет проценты ежемесячно при той же номинальной ставке. Кредитная карта с ежедневным начислением на ваш средний дневной остаток растет быстрее, чем росла бы при той же ставке с ежемесячным начислением. Всякий раз, когда два продукта указывают одну и ту же ставку, график начисления разрешает ничью.

APR и APY: одна и та же ставка в двух раскрытиях​

Поскольку частота меняет результат, кредиторы и банки раскрывают ставки двумя способами, и их путаница — одна из самых дорогих ошибок новичков в личных финансах:

• APR (годовая процентная ставка) — это номинальная годовая ставка до того, как в нее встроено начисление сложных процентов. Кредиты раскрывают APR.
• APY (годовая процентная доходность) — это то, насколько деньги реально вырастают за год после начисления. Депозитные счета раскрывают APY.

Преобразование:

APY = (1 + APR/n)^n − 1

Сберегательный счет, указывающий 4 процента APR с ежемесячным начислением, фактически приносит (1 + 0,04/12)^12 − 1 = 4,074 процента APY. Эти дополнительные 0,074 пункта — это проценты на проценты, и именно поэтому APY всегда превышает APR, когда начисление происходит чаще одного раза в год.

Практическое правило: сравнивайте сберегательные счета APY с APY, а кредиты — APR с APR, и никогда не ранжируйте продукт, указанный одним способом, против продукта, указанного другим. Счет с 4,00 процента APY и счет с 4,00 процента APR не равны: при ежемесячном начислении ставка, указанная как APR, фактически приносит 4,074 процента, поэтому она выигрывает — и это именно та неожиданность, которую вы упустите, сравнивая заголовочные цифры. Когда мелкий шрифт дает вам номинальную ставку и график, выполните преобразование сами, вместо того чтобы доверять напечатанной цифре.

Правило 72: время удвоения в уме​

Вам не нужна электронная таблица, чтобы почувствовать вес ставки. Правило 72 оценивает, сколько лет нужно деньгам, чтобы удвоиться при данной годовой ставке:

Лет до удвоения ≈ 72 ÷ ставка

• 6 процентов → 72 ÷ 6 = около 12 лет
• 8 процентов → 72 ÷ 8 = около 9 лет
• сберегательный счет под 4 процента → около 18 лет
• кредитная карта под 24 процента → около 3 лет

Именно над последней строкой стоит задуматься. Неоплаченный баланс по карте в $5 000 под 24 процента превращается примерно в $10 000 за три года вообще без новых трат. Тот же прием показывает, почему небольшие различия в ставках доминируют на длинных горизонтах: при 8 процентах ваши деньги удваиваются каждые 9 лет — почти четыре удвоения, или примерно 16×, за 36-летнюю карьеру, — тогда как при 6 процентах они удваиваются каждые 12 лет, всего три удвоения, или 8×. Два пункта доходности — вдвое больше итогового богатства.

Правило — это приближение, наиболее точное для ставок от однозначных до низких двузначных чисел при ежегодном начислении. Оно работает и в обратную сторону: чтобы удвоить свои деньги за 10 лет, вам нужна примерно 7,2-процентная годовая доходность.

Заемщики: как начисление работает против вас​

Начисление сложных процентов — причина, по которой долг с высокой ставкой ведет себя как чрезвычайная ситуация. Баланс по кредитной карте в $25 000 под 20 процентов с ежемесячным начислением накапливает около $5 485 процентов за один год — примерно $457 в месяц — еще до того, как вы купили хоть одну дополнительную вещь. Платите только минимальный платеж, и большая часть вашего платежа уходит на проценты, а основная сумма почти не двигается; неоплаченный остаток капитализируется, и проценты следующего месяца начисляются на больший баланс. Это снежный ком, катящийся с горы прямо на вас.

Три средства защиты в порядке значимости:

1. Сначала гасите балансы с высокой ставкой. Каждый доллар, направленный на баланс под 24 процента, приносит гарантированную, не облагаемую налогом доходность в 24 процента, уничтожая будущие сложные проценты. Ни одна инвестиция такого не предлагает.
2. При заимствовании предпочитайте кредиты с простыми процентами. Автокредит с простыми процентами стоит за весь срок меньше, чем кредит со сложными процентами при той же номинальной ставке, потому что база для начисления процентов никогда не растет. Читайте условия: если неоплаченные проценты капитализируются, это не настоящие простые проценты.
3. Досрочно гасите амортизируемые кредиты в счет основной суммы. По ипотеке дополнительные платежи, направленные на основную сумму, уменьшают баланс, на который рассчитываются проценты следующего месяца. Популярный трюк с двухнедельными платежами — половина месячного платежа каждые две недели — работает в основном потому, что 26 половинных платежей равны 13 месячным платежам в год, и этот дополнительный платеж напрямую атакует основную сумму. Сначала убедитесь, что ваш кредитор направляет переплаты на основную сумму и не взимает комиссию за досрочное погашение.

Вкладчики: как время превращает начисление в богатство​

Зеркальное отражение долговой чрезвычайной ситуации для вкладчика — это преимущество раннего старта. Предположим, вы хотите $1 миллион к 65 годам и зарабатываете 6 процентов в год. Начните в 25 лет, и вам нужно откладывать около $6 462 в год. Начните в 40, и вам нужно откладывать около $18 227 в год — почти втрое больше — ради того же финиша. Поздний стартер копит 25 лет вместо 40, но настоящий штраф — это упущенные ранние удвоения: деньги, вложенные в двадцатые годы, начисляются на протяжении четырех десятилетий, и никакой догоняющий взнос полностью не заменит пропущенные десятилетия.

Поставьте частоту и реинвестирование на свою сторону:

• Выбирайте ежедневное начисление при равных ставках. Высокодоходные сберегательные счета обычно начисляют проценты ежедневно; при равных номинальных ставках это лучше ежемесячного.
• Реинвестируйте, а не снимайте. Дивиденды и проценты, оставленные на счете, становятся частью базы следующего периода. Выведенные выплаты перестают начисляться в тот же день, когда уходят.
• Автоматизируйте взносы. Начисление умножает то, что есть; регулярные вклады постоянно пополняют базу, которую оно умножает. Время плюс взносы бьет любое из них по отдельности.

Учитывайте правильно: дайте процентам собственные счета​

Вот где бухгалтерия встречается с математикой. Проценты никогда не являются частью основной суммы — это цена времени, — поэтому ваш журнал никогда не должен смешивать эти две вещи. Платежи по кредиту делятся на основную сумму (которая уменьшает обязательство) и проценты (которые являются расходом). Проценты по сбережениям — это доход, а не загадочное увеличение баланса. Сваливать любое из них в счет, откуда они пришли, заставляет ваши книги лгать: прибыль выглядит выше, когда процентный доход прячется внутри выручки, а долги выглядят липче, когда вы не видите, какая часть каждого платежа была процентами.

В журнале в виде простого текста это чистое разделение на три строки. Платеж по автокредиту в $400 с $87,45 простых процентов плюс месяц процентов по сбережениям учитывается так:

2026-10-01 * "Monthly auto loan payment" "principal plus simple interest"
  Liabilities:Loans:Auto-Loan   312.55 USD
  Expenses:Interest:Auto-Loan    87.45 USD
  Assets:Checking              -400.00 USD
 
2026-10-31 * "High-yield savings" "monthly interest, compounded daily"
  Assets:Savings:High-Yield      41.20 USD
  Income:Interest:Savings       -41.20 USD

Отдельные счета Expenses:Interest и Income:Interest окупаются и во время налоговой отчетности: вычитаемые инвестиционные проценты и облагаемый налогом процентный доход каждому нужны свои итоги, и журнал, который отслеживал их отдельно, выдает вам цифры вместо проекта по восстановлению. Если вы ведете книги в простом тексте, документация описывает структуру счетов и проверки баланса, которые ловят неправильно разделенный платеж в момент его ввода.

Пять ошибок, которые стоят реальных денег​

1. Сравнение APR с APY. Сначала преобразуйте по формуле APY = (1 + APR/n)^n − 1, затем сравнивайте сравнимое.
2. Игнорирование графика начисления. Одна и та же номинальная ставка, ежедневное против ежегодного начисления — на $10 000 под 10 процентов за десять лет этот график стоит более $1 200.
3. Предположение, что ваша ипотека начисляется так же, как карта. Амортизируемые кредиты рассчитывают проценты за каждый период на непогашенный остаток; револьверный долг с ежедневным начислением — это другой, более быстрый зверь.
4. Внесение минимальных платежей по долгу с начислением сложных процентов. Каждый доллар неоплаченных процентов присоединяется к балансу и облагается процентами в следующем месяце. Минимальные платежи максимизируют начисление банка, а не ваше.
5. Погоня за ставкой при игнорировании комиссий и налогов. Чуть более высокая доходность, идущая с комиссиями по счету, или полностью облагаемый налогом процентный доход против альтернативы с налоговыми преимуществами могут проиграть на посленалоговой основе, после вычета комиссий. Сравнивайте чистые цифры.

Ваш десятиминутный аудит процентов​

Откройте прямо сейчас свой долг с наибольшим балансом и свой основной сберегательный счет. Разделите 72 на каждую ставку: это ваше время удвоения — как быстро долг удваивается против вас, как быстро сбережения удваиваются для вас. Затем проверьте график начисления по обоим и убедитесь, что ваш последний платеж по кредиту разделил основную сумму и проценты в ваших книгах, а не растворился в одном числе. Четыре небольших факта — две ставки, два графика — и вы будете точно знать, куда уходит время ваших денег.